介绍向量与矩阵的范数及其在Matlab中的用法。主要包括各种常数向量范数，矩阵范数。
一、常数向量范数
- $L_0$ 范数
$\Vert x \Vert _0\overset{def}=$向量中非零元素的个数
其在matlab中的用法：
1
sum( x(:) ~= 0 )
- $L_1$ 范数
$\Vert x \Vert_1\overset{def} = \sum\limits_{i=1}^{m} \vert x_{i}\vert = \vert x_{1}\vert + \cdots +\vert x_{m}\vert$，即向量元素绝对值之和
其在matlab中的用法：
1
norm(x, 1)
- $L_2$ 范数
$\Vert x \Vert_2 = \left({\vert x_1 \vert}^2 + \cdots + {\vert x_m \vert}^2\right)^{1/2}$，即向量元素绝对值的平方和后开方
其在matlab中的用法：
1
norm(x, 2)
- $L_{\infty}$ 范数
- 极大无穷范数
$\Vert x \Vert_{\infty}= max { \vert x_1\vert, \cdots,\vert x_m\vert }$，即所有向量元素绝对值中的最大值
其在matlab中的用法：
1
norm(x, inf)
- 极小无穷范数
$\Vert x \Vert_{\infty}= min { \vert x_1 \vert, \cdots, \vert x_m\vert }$，即所有向量元素绝对值中的最小值
其在matlab中的用法：
1
norm(x, -inf)
二、矩阵范数
诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。
1. 诱导范数
- $L_1$ 范数（列和范数）
$\Vert A \Vert_1= \underset{1\leqslant j\leqslant n}{\mathop{\max }}\sum\limits_{i=1}^{m}{ \vert a_{ij}\vert }$，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
其在matlab中的用法：
1
norm(A,1)
- $L_2$ 范数
$\Vert A \Vert_2=\sqrt{\lambda _{i}}$，其中 $\lambda_i$ 为 $A^{T}A$ 的最大特征值。
其在matlab中的用法：
1
norm(A,2)
- $L_{\infty}$ 范数（行和范数）
$\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{1\leqslant i\leqslant m}{\mathop{\max }}\sum\limits_{j=1}^{n}{\vert a_{ij}\vert}$，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
其在matlab中的用法：
1
norm(A,inf)
2. “元素形式”范数
- $L_{0}$ 范数
$\Vert A \Vert_0\overset{def}=矩阵的非零元素的个数$
其在matlab中的用法：
1
sum(sum(A ~= 0))
- $L_{1}$ 范数
$\Vert A \Vert_1\overset{def}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert$，即矩阵中的每个元素绝对值之和
其在matlab中的用法：
1
sum(sum(abs(A)))
- $L_{F}$ 范数
$\Vert A \Vert_F\overset{def}=(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert^2)^{1/2}$，即矩阵的各个元素平方之和后开方
其在matlab中的用法：
1
norm(A,'fro')
- $L_{\infty}$ 范数
$\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{i=1,\cdots,m;\ j=1,\cdots,n}{\mathop{\max }}{\vert a_{ij}\vert }$，即矩阵的各个元素绝对值的最大值
其在matlab中的用法：
1
max(max(abs(A)))
- 核范数
$\Vert A \Vert_{*}= \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i$，$\lambda_i$ 为 $A$ 的奇异值，即所有矩阵奇异值之和
其在matlab中的用法：
1
sum(svd(A))